Олимпиада «Сириус» по математике для 4–11 классов — 14 октября 2026 года, школьный этап ВсОШ. Здесь собраны условия заданий и опубликованные ответы для 1-й и 3-й групп регионов. Выберите класс в содержании и найдите свой номер задания.
В каждом классе восемь номеров, для каждого номера в источнике приведены четыре версии условия. Обозначения №1, №1.2, №1.3 и №1.4 сохранены, чтобы было проще сопоставить материалы. Перед проверкой ответа сравните числа, имена и рисунки: версии одного задания отличаются.
4 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (4 класс) — Правдивые жители и лгуны
Вариант 1 — №1
Все 40 жителей острова Лесных Фотографов подчиняются принятому правилу: одни всегда говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:
Матвей: «На нашем острове ни у кого нет фотоаппаратов».
Никита: «Матвей лгун. Он сам стоит с фотоаппаратом, как и 20 других жителей!»
Олег: «Никита сам лгун. На острове не менее 50 жителей с фотоаппаратами».
Сколько жителей с фотоаппаратами на острове?
Ответ: 21
Вариант 2 — №1.2
Все 15 жителей острова Разноцветных Капибар подчиняются принятому правилу: одни всегда говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:
Антон: «На нашем острове нет синих капибар».
Вася: «Антон лгун. Он же сам синяя капибара, как и 9 других!»
Тимофей: «Вася сам лгун. На острове не менее 16 синих капибар».
Сколько синих капибар на острове?
Ответ: 10
Вариант 3 — №1.3
Все 25 жителей острова Изумрудных Попугаев подчиняются принятому правилу: одни всегда говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:
Артур: «На нашем острове нет зелёных попугаев».
Борис: «Артур лгун. Он же сам зелёный попугай, как и 11 других!»
Вова: «Борис сам лгун. На острове не менее 30 зелёных попугаев».
Сколько зелёных попугаев на острове?
Ответ: 12
Вариант 4 — №1.4
Все 12 жителей острова Пустынных Фенеков подчиняются принятому правилу: одни всегда говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:
Гриша: «На нашем острове нет фенеков с кубиками».
Дима: «Гриша лгун. У него самого в лапах кубик, как и у 4 других!»
Егор: «Дима сам лгун. На острове не менее 15 фенеков с кубиками».
Сколько фенеков с кубиками на острове?
Ответ: 5
Задание 2 (4 класс) — Числовой ребус
Вариант 1 — №2
В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными. Получился следующий ребус:
ВОЗ + ВОЗ = РОВ.
Известно, что буква О — это цифра 0. Как мог выглядеть исходный пример? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 201+201=402, 402+402=804
Вариант 2 — №2.2
В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными. Получился следующий ребус:
ЛОГ + ЛОГ = ДОЛ.
Известно, что буква О — это цифра 0. Как мог выглядеть исходный пример? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 201+201=402, 402+402=804
Вариант 3 — №2.3
В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными. Получился следующий ребус:
МОХ + МОХ = КОМ.
Известно, что буква О — это цифра 0. Как мог выглядеть исходный пример? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 201+201=402, 402+402=804
Вариант 4 — №2.4
В примере на сложение цифры заменили буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными. Получился следующий ребус:
РОГ + РОГ = БОР.
Известно, что буква О — это цифра 0. Как мог выглядеть исходный пример? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 201+201=402, 402+402=804
Задание 3 (4 класс) — Подсчёт по условию
Вариант 1 — №3
На парковке стоят 27 автомобилей. Три из них — минивэны, а остальные — внедорожники или седаны, причём седанов в пять раз больше, чем внедорожников. В каждый минивэн помещается восемь пассажиров, во внедорожник — пять пассажиров, а в седан — четыре. Сколько всего пассажиров могут одновременно уехать на всех этих автомобилях?
Ответ: 124
Вариант 2 — №3.2
33 коровы паслись на лугу. Пять из них пёстрые, а остальные — чёрные или рыжие, причём рыжих в три раза больше, чем чёрных. С каждой пёстрой коровы получают 30 литров молока в день, с чёрной — 25 литров молока в день, а с рыжей — 20 литров. Сколько всего литров молока за день соберут со стада на лугу?
Ответ: 745
Вариант 3 — №3.3
В кондитерской испекли 40 пирожных. Четыре из них шоколадные, а остальные — ванильные или фруктовые, причём фруктовых в два раза больше, чем ванильных. На каждое шоколадное пирожное положили по 10 вишенок, на ванильное — по пять вишенок, а на фруктовое — по восемь. Сколько всего вишенок потребовалось для украшения всех пирожных?
Ответ: 292
Вариант 4 — №3.4
В парке посадили 54 дерева. Шесть из них — дубы, а остальные — берёзы или сосны, причём сосен в три раза больше, чем берёз. На каждом дубе повесили по пять кормушек для птиц, на каждой берёзе — по две кормушки, а на сосне — по три. Сколько всего кормушек повесили на деревьях в парке?
Ответ: 162
Задание 4 (4 класс) — Правила преобразования цифр
Вариант 1 — №4
Нейросеть «Эмодзи Презент» сгенерировала правила, по которым преобразовывает две цифры, записанные в столбик, в двузначное число. Число десятков и число единиц получаемого двузначного числа определяются по разным правилам.
Каждое такое правило — это выражение со знаками сложения и вычитания, в котором в качестве чисел используются верхняя и нижняя исходные цифры. Определите, что может делать нейросеть с цифрами в столбик, и запишите пример того, какое число могло получиться в последнем преобразовании. В правилах можно складывать и вычитать исходные цифры, использовать одну цифру несколько раз, а также вычитать меньшую цифру из большей.
| Верхняя цифра | Нижняя цифра | Число |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 15 |
| 1 | 2 | 14 |
| 3 | 1 | 27 |
| 1 | 3 | 25 |
| 2 | 3 | 17 |
| 3 | 2 | ? |
Вариант 2 — №4.2
Нейросеть «Эмодзи Презент» сгенерировала правила, по которым преобразовывает две цифры, записанные в столбик, в двузначное число. Число десятков и число единиц получаемого двузначного числа определяются по разным правилам.
Каждое такое правило — это выражение со знаками сложения и вычитания, в котором в качестве чисел используются верхняя и нижняя исходные цифры. Определите, что может делать нейросеть с цифрами в столбик, и запишите пример того, какое число могло получиться в последнем преобразовании. В правилах можно складывать и вычитать исходные цифры, использовать одну цифру несколько раз, а также вычитать меньшую цифру из большей.
| Верхняя цифра | Нижняя цифра | Число |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 34 |
| 1 | 2 | 35 |
| 3 | 1 | 45 |
| 1 | 3 | 47 |
| 2 | 3 | 58 |
| 3 | 2 | ? |
Вариант 3 — №4.3
Нейросеть «Эмодзи Презент» сгенерировала правила, по которым преобразовывает две цифры, записанные в столбик, в двузначное число. Число десятков и число единиц получаемого двузначного числа определяются по разным правилам.
Каждое такое правило — это выражение со знаками сложения и вычитания, в котором в качестве чисел используются верхняя и нижняя исходные цифры. Определите, что может делать нейросеть с цифрами в столбик, и запишите пример того, какое число могло получиться в последнем преобразовании. В правилах можно складывать и вычитать исходные цифры, использовать одну цифру несколько раз, а также вычитать меньшую цифру из большей.
| Верхняя цифра | Нижняя цифра | Число |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 14 |
| 1 | 2 | 15 |
| 3 | 1 | 25 |
| 1 | 3 | 27 |
| 2 | 3 | 18 |
| 3 | 2 | ? |
Вариант 4 — №4.4
Нейросеть «Эмодзи Презент» сгенерировала правила, по которым преобразовывает две цифры, записанные в столбик, в двузначное число. Число десятков и число единиц получаемого двузначного числа определяются по разным правилам.
Каждое такое правило — это выражение со знаками сложения и вычитания, в котором в качестве чисел используются верхняя и нижняя исходные цифры. Определите, что может делать нейросеть с цифрами в столбик, и запишите пример того, какое число могло получиться в последнем преобразовании. В правилах можно складывать и вычитать исходные цифры, использовать одну цифру несколько раз, а также вычитать меньшую цифру из большей.
| Верхняя цифра | Нижняя цифра | Число |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 35 |
| 1 | 2 | 34 |
| 3 | 1 | 47 |
| 1 | 3 | 45 |
| 2 | 3 | 57 |
| 3 | 2 | ? |
Задание 5 (4 класс) — Числа из карточек
Вариант 1 — №5
Даны четыре карточки с цифрами: 2 6 5 3
Выложите карточки таким образом, чтобы получилось наибольшее нечётное число.
Ответ: 6523
Вариант 2 — №5.2
Даны четыре карточки с цифрами: 2 9 7 3
Выложите карточки таким образом, чтобы получилось наименьшее нечётное число.
Ответ: 2379
Вариант 3 — №5.3
Даны четыре карточки с цифрами: 2 6 1 3
Выложите карточки таким образом, чтобы получилось наибольшее чётное число.
Ответ: 6312
Вариант 4 — №5.4
Даны четыре карточки с цифрами: 2 9 1 3
Выложите карточки таким образом, чтобы получилось наименьшее чётное число.
Ответ: 1392
Задание 6 (4 класс) — Сладости в пакете
Вариант 1 — №6
У Софии есть пакет с зефирками. Каждый вечер она съедает ровно треть зефирок из него, а на утро следующего дня добавляет 2 зефирки. София два вечера подряд ела зефирки. В полдень третьего дня она заглянула в пакет и увидела, что в нём осталось 22 зефирки. Сколько зефирок София съела за эти два дня?
Ответ: 24
Вариант 2 — №6.2
У Варвары есть мешок с конфетами. Каждый вечер она съедает ровно треть конфет из него, а на утро следующего дня добавляет 3 конфеты. Варвара два вечера подряд ела конфеты. В полдень третьего дня она заглянула в мешок и увидела, что в нём осталась всего 21 конфета. Сколько конфет Варвара съела за эти два дня?
Ответ: 21
Вариант 3 — №6.3
У Василисы есть мешок с пряниками. Каждый вечер она съедает ровно треть пряников из него, а на утро следующего дня добавляет 4 пряника. Василиса два вечера подряд ела пряники. В полдень третьего дня она заглянула в мешок и увидела, что в нём осталось 16 пряников. Сколько пряников Василиса съела за эти два дня?
Ответ: 13
Вариант 4 — №6.4
У Макара есть коробка с печеньем. Каждый вечер он съедает ровно треть печенья из неё, а на утро следующего дня добавляет 6 печений. Макар два вечера подряд ел печенье. В полдень третьего дня он заглянул в коробку и увидел, что в ней осталось 22 печенья. Сколько печений Макар съел за эти два дня?
Ответ: 17
Задание 7 (4 класс) — Подъём и отдых
Вариант 1 — №7
У альпиниста есть три троса: чёрный, жёлтый и серый. По чёрному тросу он поднимается со скоростью 6 метров в минуту, но после двух минут подъёма он должен отдохнуть одну минуту; за эту минуту он сползает на 3 метра вниз (если ещё не достиг цели). Скорость подъёма по жёлтому тросу — 5 м/мин, но после каждых трёх минут нужны две минуты отдыха, в течение которых он сползает вниз со скоростью 2 м/мин. Скорость подъёма по серому тросу — 7 м/мин, но после каждых двух минут требуются две минуты отдыха, за которые он сползает вниз со скоростью 2 м/мин.
Каким тросом надо воспользоваться, чтобы оказаться как можно выше за 11 минут?
-
Чёрным
-
Серым
-
Жёлтым
На какую высоту за это время сможет подняться альпинист? Ответ выразите в метрах.
Вариант 2 — №7.2
Павел на скалодроме проходит три вертикальные трассы: «Альфа», «Бета» и «Гамма». По трассе «Альфа» он поднимается со скоростью 4 метра в минуту, но после трёх минут подъёма он должен отдохнуть одну минуту; за эту минуту он сползает на два метра вниз (если ещё не достиг цели). Скорость подъёма на трассе «Бета» — 6 м/мин, но после каждых двух минут нужны две минуты отдыха, в течение которых он сползает вниз со скоростью 1 м/мин. Скорость подъёма на трассе «Гамма» — 5 м/мин, но после каждых двух минут требуется одна минута отдыха, за которую он сползает вниз со скоростью 3 м/мин.
На какой трассе он окажется выше всего за 9 минут?
-
«Бета»
-
«Альфа»
-
«Гамма»
На какую высоту за это время сможет подняться Павел? Ответ выразите в метрах.
Вариант 3 — №7.3
У спасателя есть три лебёдки: медная, стальная и титановая. По медной лебёдке он поднимается со скоростью 6 метров в минуту, но после трёх минут подъёма он должен отдохнуть одну минуту; за эту минуту он сползает на 3 метра вниз (если ещё не достиг цели). Скорость подъёма по стальной лебёдке — 12 м/мин, но после каждых двух минут нужны три минуты отдыха, в течение которых он сползает вниз со скоростью 4 м/мин. Скорость подъёма по титановой лебёдке — 7 м/мин, но после каждых четырёх минут требуются три минуты отдыха, за которые он сползает вниз со скоростью 2 м/мин.
Какой лебёдкой надо воспользоваться, чтобы оказаться как можно выше за 14 минут?
-
Медной
-
Стальной
-
Титановой
На какую высоту за это время сможет подняться спасатель? Ответ выразите в метрах.
Вариант 4 — №7.4
У паучка есть три волшебных нити: зелёная, синяя и красная. По зелёной нити он поднимается со скоростью 5 дециметров в минуту, но после двух минут подъёма он должен отдохнуть одну минуту; за эту минуту он сползает на два дециметра вниз (если ещё не достиг цели). Скорость подъёма по синей нити — 4 дм/мин, но после каждых четырёх минут нужны две минуты отдыха, в течение которых он сползает вниз со скоростью 3 дм/мин. Скорость подъёма по красной нити — 6 дм/мин, но после каждых двух минут требуются две минуты отдыха, за которые он сползает вниз со скоростью 2 дм/мин.
Какой волшебной нитью надо воспользоваться, чтобы оказаться как можно выше за 10 минут?
-
Синей
-
Красной
-
Зелёной
На какую высоту за это время сможет подняться паучок? Ответ выразите в дециметрах.
Задание 8 (4 класс)
Вариант 1 — №8
В конкурсе кондитеров участвуют четверо ребят — и свои шедевры они готовят прямо перед жюри. Аня выступает в жёлтом фартуке, она подготовила 3 вида крема и 5 видов посыпки. Боря в синем фартуке подготовил 2 вида крема и 4 вида посыпки. Ваня тоже выступает в жёлтом фартуке, у него 4 вида крема и 3 вида посыпки. Галя в розовом фартуке подготовила всего 1 вид крема, зато видов посыпки у неё 6.
Назовём «десертом» любую комбинацию из одного вида крема и одного вида посыпки. Известно, что первым свою работу представил участник, у которого вышло нечётное количество вариантов десерта, кондитер в синем фартуке выступал между двумя ребятами в жёлтом, а последним показал работу участник с наименьшим количеством вариантов десерта. Расположите имена ребят в порядке их выступления (сверху вниз).
Расставьте в верной последовательности:
-
Галя
-
Ваня
-
Боря
-
Аня
Вариант 2 — №8.2
В соревновании по дизайну видеоигр участвуют четыре школьника, которые презентуют созданных ими персонажей. Денис нарисовал эльфа и подготовил для него 2 вида шлемов и 6 видов доспехов. Егор нарисовал орка, у него 4 вида шлемов и 4 вида доспехов. Костя создал гнома, для которого готовы 3 вида шлемов и 7 видов доспехов. Максим тоже нарисовал эльфа, но для него придумано 2 вида шлемов и 5 видов доспехов.
Назовём «образом» комплект из одного шлема и одного доспеха. Известно, что первым свой проект показал мальчик, у которого получилось нечётное количество вариантов образов, орка показали между двумя эльфами, а последним выступил участник с наименьшим количеством вариантов образов. Расположите имена мальчиков в порядке их выступления (сверху вниз).
Расставьте в верной последовательности:
-
Максим
-
Денис
-
Костя
-
Егор
Вариант 3 — №8.3
Четыре робота должны проехать по полигону, демонстрируя свои возможности. Каждый робот имеет ассортимент модулей. Робот «Альфа» белого цвета, и для него подготовили 2 вида манипуляторов и 2 вида шасси. Робот «Бета» красного цвета, у него 2 вида манипуляторов и 3 вида шасси. Синий робот «Гамма» совместим с 3 видами манипуляторов и 3 видами шасси. Робот «Дельта» тоже белый, на него можно установить манипуляторы 3 видов и шасси 4 видов.
Назовём «конфигурацией» комплект из одного манипулятора и одного шасси. Известно, что первым на стенд выехал робот с нечётным количеством вариантов конфигураций, красный робот выехал между двумя белыми, а последним выехал робот с наименьшим количеством вариантов конфигураций. Расположите названия роботов в порядке их выезда на полигон (сверху вниз).
Расставьте в верной последовательности:
-
Альфа
-
Бета
-
Гамма
-
Дельта
Вариант 4 — №8.4
В конкурсе юных модельеров участвуют четыре девочки из 4 «А» — и свои шедевры они показывают прямо на себе. Полина — блондинка, и для дефиле она подготовила 3 платья и 2 пары туфель. Брюнетка Василиса подготовила 2 платья и 4 пары туфель. Рыжая Таня готова показать 3 платья и 3 пары туфель. Настя тоже блондинка, но сшила только одно платье, зато пар туфель у неё 5.
Назовём нарядом комплект из платья и туфель. Известно, что первой вышла девочка, у которой нечётное количество вариантов нарядов, брюнетка вышла между двумя блондинками, а последней вышла девочка с наименьшим количеством вариантов нарядов. Расположите имена девочек в порядке их выхода на подиум (сверху вниз).
Расставьте в верной последовательности:
-
Василиса
-
Таня
-
Полина
-
Настя
5 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (5 класс) — Поворот и перекрашивание фигуры
Вариант 1 — №1
Вася нарисовал и раскрасил пятиугольник, как показано на рисунке.
После этого пришёл Петя, повернул этот пятиугольник и перекрасил серое в синее. Какая картинка могла получиться у Пети?
Ответ: смотрите пятиугольник в группе 1 на общей иллюстрации: слева показано условие, справа — правильная фигура после поворота и перекрашивания.
Вариант 2 — №1.2
Вася нарисовал и раскрасил звезду, как показано на рисунке.
После этого пришёл Петя, повернул эту звезду и перекрасил серое в синее. Какая картинка могла получиться у Пети?
Ответ: смотрите шестилучевую звезду в группе 2 на общей иллюстрации: слева показано условие, справа — правильная фигура после поворота и перекрашивания.
Вариант 3 — №1.3
Вася нарисовал и раскрасил звезду, как показано на рисунке.
После этого пришёл Петя, повернул эту звезду и перекрасил серое в синее. Какая картинка могла получиться у Пети?
Ответ: смотрите четырёхлучевую звезду в группе 3 на общей иллюстрации: слева показано условие, справа — правильная фигура после поворота и перекрашивания.
Вариант 4 — №1.4
Вася нарисовал и раскрасил шестиугольник, как показано на рисунке.
После этого пришёл Петя, повернул этот шестиугольник и перекрасил серое в синее. Какая картинка могла получиться у Пети?
Ответ: смотрите шестиугольник в группе 4 на общей иллюстрации: слева показано условие, справа — правильная фигура после поворота и перекрашивания.
Задание 2 (5 класс)
Вариант 1 — №2
Васенька пошёл фотографировать птиц в сапогах-скороходах и заблудился на волшебном болоте. Чтобы пересечь болото, нужно передвигаться по кочкам (сапоги-скороходы позволяют прыгать на любую кочку). На каждую кочку можно прыгнуть не более 11 раз, а потом она уходит под воду. Вася знает, что за 45 прыжков он не сможет побывать на каждой кочке, а ещё он не сможет сделать 533 прыжка по кочкам. Сколько кочек может быть в этом болоте? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 46, 47, 48
Вариант 2 — №2.2
Сашенька пошёл собирать грибы в сапогах-скороходах и заблудился на волшебном болоте. Чтобы пересечь болото, нужно передвигаться по кочкам (сапоги-скороходы позволяют прыгать на любую кочку). На каждую кочку можно прыгнуть не более 5 раз, а потом она уходит под воду. Саша знает, что за 72 прыжка он не сможет побывать на каждой кочке, а ещё он не сможет сделать 377 прыжков по кочкам. Сколько кочек может быть в этом болоте? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 73, 74, 75
Вариант 3 — №2.3
Женечка пошла искать цветик-семицветик в сапогах-скороходах и заблудилась на волшебном болоте. Чтобы пересечь болото, нужно передвигаться по кочкам (сапоги-скороходы позволяют прыгать на любую кочку). На каждую кочку можно прыгнуть не более 6 раз, а потом она уходит под воду. Женя знает, что за 63 прыжка она не сможет побывать на каждой кочке, а ещё она не сможет сделать 400 прыжков по кочкам. Сколько кочек может быть в этом болоте? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 64, 65, 66
Вариант 4 — №2.4
Машенька пошла собирать бруснику в сапогах-скороходах и заблудилась на волшебном болоте. Чтобы пересечь болото, нужно передвигаться по кочкам (сапоги-скороходы позволяют прыгать на любую кочку). На каждую кочку можно прыгнуть не более 8 раз, а потом она уходит под воду. Маша знает, что за 59 прыжков она не сможет побывать на каждой кочке, а ещё она не сможет сделать 503 прыжка по кочкам. Сколько кочек может быть в этом болоте? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 60, 61, 62
Задание 3 (5 класс)
Вариант 1 — №3
Дан числовой ребус. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные — разным.
РУЧКИ + РУЧКИ + РУЧКИ + РУЧКИ = ПЕНАЛ.
Какая наибольшая цифра может быть зашифрована буквой Р?
Ответ: 2
Вариант 2 — №3.2
Дан числовой ребус. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные — разным.
ДУБ + ДУБ + ДУБ + ДУБ = ЛЕС
Какая наименьшая цифра может быть зашифрована буквой Л?
Ответ: 4
Вариант 3 — №3.3
Дан числовой ребус. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные — разным.
ЛИСТ + ЛИСТ + ЛИСТ + ЛИСТ = КУЧА.
Какая максимальная цифра может быть зашифрована буквой Л?
Ответ: 2
Вариант 4 — №3.4
Дан числовой ребус. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, разные — разным.
МАК + МАК + МАК + МАК = ПОЛЕ.
Какая наибольшая цифра может быть зашифрована буквой П?
Ответ: 3
Задание 4 (5 класс) — Суммы в строках и столбцах
Вариант 1 — №4
Отметьте несколько клеток с числами так, чтобы сумма отмеченных чисел в каждой строке была равна числу слева от этой строки, а сумма отмеченных клеток в каждом столбце была равна числу, записанному сверху от этого столбца.
| 5 | 5 | 5 | 5 | |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 2 | 4 | 3 |
| 5 | 2 | 1 | 1 | 3 |
| 5 | 1 | 2 | 2 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 2 | 2 |
Вариант 2 — №4.2
Отметьте несколько клеток с числами так, чтобы сумма отмеченных чисел в каждой строке была равна числу слева от этой строки, а сумма отмеченных клеток в каждом столбце была равна числу, записанному сверху от этого столбца.
| 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 3 | 1 | 3 |
| 4 | 1 | 3 | 2 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | 3 | 2 |
| 6 | 1 | 3 | 1 | 2 |
Вариант 3 — №4.3
Отметьте несколько клеток с числами так, чтобы сумма отмеченных чисел в каждой строке была равна числу слева от этой строки, а сумма отмеченных клеток в каждом столбце была равна числу, записанному сверху от этого столбца.
| 6 | 2 | 7 | 3 | |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 1 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 2 |
| 6 | 3 | 2 | 4 | 3 |
Вариант 4 — №4.4
Отметьте несколько клеток с числами так, чтобы сумма отмеченных чисел в каждой строке была равна числу слева от этой строки, а сумма отмеченных клеток в каждом столбце была равна числу, записанному сверху от этого столбца.
| 6 | 6 | 6 | 6 | |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 3 | 5 | 5 | 1 |
| 6 | 1 | 4 | 1 | 6 |
| 6 | 2 | 1 | 2 | 3 |
| 6 | 3 | 1 | 5 | 2 |
Задание 5 (5 класс)
Вариант 1 — №5
На рисунке изображены дома Андрея, Бориса, Виктора и Геннадия и дороги между ними.
На одной развилке стоит дуб, на другой — ясень. От дома Андрея до дома Бориса 5 км, от дома Бориса до дома Виктора 7 км, от дома Виктора до дома Геннадия 4 км, от дома Геннадия до дома Андрея 8 км (все расстояния измеряются по дорогам). Сколько километров от дуба до ясеня?
Ответ: 3
Вариант 2 — №5.2
На рисунке изображены дома Андрея, Бориса, Виктора и Геннадия и дороги между ними.
На одной развилке стоит дуб, на другой — ясень. От дома Андрея до дома Бориса 6 км, от дома Бориса до дома Виктора 11 км, от дома Виктора до дома Геннадия 5 км, от дома Геннадия до дома Андрея 8 км (все расстояния измеряются по дорогам). Сколько километров от дуба до ясеня?
Ответ: 4
Вариант 3 — №5.3
На рисунке изображены дома Андрея, Бориса, Виктора и Геннадия и дороги между ними.
На одной развилке стоит дуб, на другой — ясень. От дома Андрея до дома Бориса 7 км, от дома Бориса до дома Виктора 10 км, от дома Виктора до дома Геннадия 5 км, от дома Геннадия до дома Андрея 12 км (все расстояния измеряются по дорогам). Сколько километров от дуба до ясеня?
Ответ: 5
Вариант 4 — №5.4
На рисунке изображены дома Андрея, Бориса, Виктора и Геннадия и дороги между ними.
На одной развилке стоит дуб, на другой — ясень. От дома Андрея до дома Бориса 15 км, от дома Бориса до дома Виктора 20 км, от дома Виктора до дома Геннадия 11 км, от дома Геннадия до дома Андрея 22 км (все расстояния измеряются по дорогам). Сколько километров от дуба до ясеня?
Ответ: 8
Задание 6 (5 класс)
Вариант 1 — №6
Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа:
12345678910111213…
Выписав очередное число, он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число нулей, двоек и троек. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок). Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?
Ответ: 21
Вариант 2 — №6.2
Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа:
12345678910111213…
Выписав очередное число, он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число единиц, чётное число двоек и чётное число шестёрок. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок). Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?
Ответ: 19
Вариант 3 — №6.3
Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа:
12345678910111213…
Выписав очередное число, он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число единиц, троек и восьмёрок. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок). Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?
Ответ: 20
Вариант 4 — №6.4
Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа:
12345678910111213…
Выписав очередное число, он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число единиц, троек и четвёрок. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок). Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?
Ответ: 17
Задание 7 (5 класс)
Вариант 1 — №7
Эльф Фома работает на заводе по сборке новогодних подарков. У него есть 20 видов коробок, в которые он складывает сладости. Также у него есть шоколадки с пятью разными вкусами и очень много конфет пяти разных видов. Фома считает подарок собранным, если есть коробка, а в ней не менее четырёх шоколадок разных вкусов и ровно четыре конфеты разных видов. Сколько различных подарков может собрать Фома?
Два варианта считаются различными, если различаются выбранные виды/цвета или оформление. Количество предметов каждого выбранного вида и их расположение не учитываются.
Вариант 2 — №7.2
Эльф Фома работает на заводе по сборке подарочных пеналов. У него есть 10 разных принтов для коробки. Также у него есть ручки четырёх цветов и очень много карандашей пяти различных цветов. Фома считает пенал собранным, если есть ровно одна коробка с принтом, ручки ровно трёх цветов и хотя бы четыре карандаша разных цветов. Сколько различных пеналов может укомплектовать Фома?
Два варианта считаются различными, если различаются выбранные виды/цвета или оформление. Количество предметов каждого выбранного вида и их расположение не учитываются.
Вариант 3 — №7.3
Эльф Фома работает на заводе по изготовлению букетов. У него есть семь видов ленточек для завязывания готовых букетов. Также у него есть четыре вида упаковочной бумаги и очень много цветов 11 различных видов. Фома считает букет готовым, если есть ровно одна ленточка, ровно одна бумага и не менее 10 видов цветов. Сколько различных букетов может связать Фома?
Два варианта считаются различными, если различаются выбранные виды/цвета или оформление. Количество предметов каждого выбранного вида и их расположение не учитываются.
Вариант 4 — №7.4
Эльф Фома работает на заводе по украшению новогодних ёлок. У него есть 10 видов звёзд, которые он может надеть на макушку ёлок. Также у него есть мишура трёх разных цветов и очень много шариков 10 разных цветов. Фома считает ёлку красиво украшенной, если на ней есть звезда, мишура ровно двух цветов и не менее девяти шариков, среди которых нет одноцветных. Сколько различных красиво украшенных ёлок может подготовить Фома?
Два варианта считаются различными, если различаются выбранные виды/цвета или оформление. Количество предметов каждого выбранного вида и их расположение не учитываются.
Задание 8 (5 класс)
Вариант 1 — №8
В круг встали 33 пятиклассника лицом к центру. Каждый из них сказал: «Мои соседи одного пола». Оказалось, что правду сказали те и только те пятиклассники, справа от которых стоят две девочки подряд. Сколько девочек могло быть в круге?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2 — №8.2
В круг встали 39 пятиклассников лицом к центру. Каждый из них сказал: «Мои соседи одного пола». Оказалось, что правду сказали те и только те пятиклассники, справа от которых стоят две девочки подряд. Сколько мальчиков могло быть в круге?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3 — №8.3
В круг встали 24 пятиклассника лицом к центру. Каждый из них сказал: «Мои соседи одного пола». Оказалось, что правду сказали те и только те дети, справа от которых стоят два мальчика подряд. Сколько девочек могло быть в круге?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4 — №8.4
В круг встали 36 пятиклассников лицом к центру. Каждый из них сказал: «Мои соседи одного пола». Оказалось, что правду сказали те и только те дети, справа от которых стоят два мальчика подряд. Сколько мальчиков могло быть в круге?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
6 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (6 класс)
Вариант 1 — №1
Саша нарисовал картинку из пяти треугольников. Справа от неё он нарисовал такую же картинку, правее неё — ещё одну такую же и т. д.
Синий, красный, синий, синий, красный
Саша пронумеровал слева направо все синие треугольники.
Какого цвета фигура правее 17-го синего треугольника?
-
Синего
-
Красного
-
Невозможно определить
Сколько фигур левее 17-го синего треугольника?
Ответ: синего, 27
Вариант 2 — №1.2
Олег нарисовал картинку из пяти треугольников. Справа от неё он нарисовал такую же картинку, правее неё — ещё одну такую же и т. д.
Жёлтый, жёлтый, зелёный, зелёный, жёлтый
Олег пронумеровал слева направо все жёлтые треугольники.
Какого цвета фигура правее 20-го жёлтого треугольника?
-
Жёлтого
-
Зелёного
-
Невозможно определить
Сколько фигур левее 20-го жёлтого треугольника?
Ответ: зелёного, 31
Вариант 3 — №1.3
Казимир нарисовал картинку из пяти квадратов. Справа от неё он нарисовал такую же картинку, правее неё — ещё одну такую же и т. д.
Чёрный, белый, чёрный, чёрный, белый
Казимир пронумеровал слева направо все чёрные квадраты.
Какого цвета фигура правее 16-го чёрного квадрата?
-
Чёрного
-
Белого
-
Невозможно определить
Сколько фигур левее 16-го чёрного квадрата?
Ответ: белого, 25
Вариант 4 — №1.4
Яна нарисовала картинку из пяти квадратов. Справа от неё она нарисовала такую же картинку, правее неё — ещё одну такую же и т. д.
Синий, синий, зелёный, синий, зелёный
Яна пронумеровала слева направо все синие квадраты.
Какого цвета фигура правее 19-го синего квадрата?
-
Синего
-
Зелёного
-
Невозможно определить
Сколько фигур левее 19-го синего квадрата?
Ответ: синего, 30
Задание 2 (6 класс)
Вариант 1 — №2
Четыре девочки — Клава, Лена, Марина и Нина — надели футболки, на каждой из которых написано натуральное число.
Клава сказала: «На наших футболках написаны четыре последовательных числа».
Лена ответила: «Их сумма равна 200».
Марина поправила: «Их сумма равна 202».
Что сказала Нина — никто не знает. Известно, что ровно одна девочка ошиблась.
Кто ошибся?
-
Клава
-
Лена
-
Марина
-
Нина
Найдите наименьшее из чисел, написанных на футболках.
Ответ: Лена, 49
Вариант 2 — №2.2
Четыре девочки — Аня, Бэла, Вера и Галя — надели футболки, на каждой из которых написано натуральное число.
Аня сказала: «На наших футболках написаны четыре последовательных числа».
Бэла ответила: «Их сумма равна 102».
Вера поправила: «Их сумма равна 100».
Что сказала Галя — никто не знает. Известно, что ровно одна девочка ошиблась.
Кто ошибся?
-
Аня
-
Бэла
-
Вера
-
Галя
Найдите наименьшее из чисел, написанных на футболках.
Ответ: Вера, 24
Вариант 3 — №2.3
Четыре девочки — Варя, Галя, Динара и Ева — надели футболки, на каждой из которых написано натуральное число.
Ева сказала: «На наших футболках написаны четыре последовательных числа».
Динара ответила: «Их сумма равна 134».
Галя поправила: «Их сумма равна 140».
Что сказала Варя — никто не знает. Известно, что ровно одна девочка ошиблась.
Кто ошибся?
-
Варя
-
Галя
-
Динара
-
Ева
Найдите наибольшее из чисел, написанных на футболках.
Ответ: Галя, 35
Вариант 4 — №2.4
Четыре мальчика — Олег, Паша, Рома и Саша — надели футболки, на каждой из которых написано натуральное число.
Олег сказал: «На наших футболках написаны четыре последовательных числа».
Паша ответил: «Их сумма равна 122».
Рома поправил: «Их сумма равна 124».
Что сказал Саша — никто не знает. Известно, что ровно один мальчик ошибся.
Кто ошибся?
-
Олег
-
Паша
-
Рома
-
Саша
Найдите наибольшее из чисел, написанных на футболках.
Ответ: Рома, 32
Задание 3 (6 класс)
Вариант 1 — №3
На картинке показано, как складывать цифры из спичек.
У Лёни есть 34 спички. Он хочет сложить пятизначное число, использовав все имеющиеся спички. Числа с нуля не начинаются. Сколько различных чисел он может сложить?
Ответ: 14
Вариант 2 — №3.2
На картинке показано, как складывать цифры из спичек.
Цифры из спичек: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
У Лены есть 48 спичек. Она хочет сложить семизначное число, использовав все имеющиеся спички. Числа с нуля не начинаются. Сколько различных чисел она может сложить?
Ответ: 20
Вариант 3 — №3.3
На картинке показано, как складывать цифры из спичек.
Цифры из спичек: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
У Васи есть 55 спичек. Он хочет сложить восьмизначное число, использовав все имеющиеся спички. Числа с нуля не начинаются. Сколько различных чисел он может сложить?
Ответ: 23
Вариант 4 — №3.4
На картинке показано, как складывать цифры из спичек.
Цифры из спичек: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
У Оли есть 41 спичка. Она хочет сложить шестизначное число, использовав все имеющиеся спички. Числа с нуля не начинаются. Сколько различных чисел она может сложить?
Ответ: 17
Задание 4 (6 класс)
Вариант 1 — №4
На рисунке изображено разбиение квадрата на один квадратик и четыре одинаковых прямоугольника. Площадь центрального квадратика составляет 0.64 от площади большого квадрата.
Какую долю составляет площадь прямоугольника от площади исходного квадрата? Ответ выразите в виде десятичной дроби.
Найдите отношение сторон прямоугольников. Ответ выразите в виде правильной несократимой дроби.
Ответ: доля — 0,09, отношение — 1/9
Вариант 2 — №4.2
На рисунке изображено разбиение квадрата на один квадратик и четыре одинаковых прямоугольника. Площадь центрального квадратика составляет 0.04 от площади большого квадрата.
Квадрат, разбитый на квадратик и четыре прямоугольника
Какую долю составляет площадь прямоугольника от площади исходного квадрата? Ответ выразите в виде десятичной дроби.
Найдите отношение сторон прямоугольников. Ответ выразите в виде правильной несократимой дроби.
Ответ: доля — 0,24, отношение — 2/3
Вариант 3 — №4.3
На рисунке изображено разбиение квадрата на один квадратик и четыре одинаковых прямоугольника. Площадь центрального квадратика составляет 0.36 от площади большого квадрата.
Квадрат, разбитый на квадратик и четыре прямоугольника
Какую долю составляет площадь прямоугольника от площади исходного квадрата? Ответ выразите в виде десятичной дроби.
Найдите отношение сторон прямоугольников. Ответ выразите в виде правильной несократимой дроби.
Ответ: доля — 0,16, отношение — 1/4
Вариант 4 — №4.4
На рисунке изображено разбиение квадрата на один квадратик и четыре одинаковых прямоугольника. Площадь центрального квадратика составляет 0.16 от площади большого квадрата.
Квадрат, разбитый на квадратик и четыре прямоугольника
Какую долю составляет площадь прямоугольника от площади исходного квадрата? Ответ выразите в виде десятичной дроби.
Найдите отношение сторон прямоугольников. Ответ выразите в виде правильной несократимой дроби.
Ответ: доля — 0,21, отношение — 3/7
Задание 5 (6 класс)
Вариант 1 — №5
На день рождения Иа-Иа подарили много-много шариков — красных, синих, жёлтых, зелёных и белых. Оказалось, что шариков не красного и не синего цвета всего 67 %. Не синих и не жёлтых всего 60 %. Не жёлтых и не зелёных всего 64 %. Не зелёных и не белых всего 55 %. А сколько процентов шариков не являются ни белыми, ни красными?
Ответ: 54
Вариант 2 — №5.2
На день рождения Карлсону подарили много-много баночек с вареньем — вишнёвым, клубничным, малиновым, яблочным и абрикосовым. Оказалось, что баночек не с вишнёвым и не с клубничным вареньем всего 66 %. Баночек не с клубничным и не с малиновым вареньем всего 64 %. Не с малиновым и не с яблочным всего 56 %. Не с яблочным и не с абрикосовым всего 52 %. А сколько процентов баночек не с абрикосовым и не с вишнёвым вареньем?
Ответ: 62
Вариант 3 — №5.3
На день рождения Винни-Пуху подарили много-много баночек с мёдом — липовым, гречишным, акациевым, подсолнечниковым и донниковым. Оказалось, что баночек не с липовым и не с гречишным мёдом всего 57 %. Баночек не с гречишным и не с акациевым мёдом всего 60 %. Не с акациевым и не с подсолнечниковым всего 61 %. Не с подсолнечниковым и не с донниковым всего 65 %. А сколько процентов баночек не с донниковым и не с липовым мёдом?
Ответ: 57
Вариант 4 — №5.4
На день рождения Малышу подарили много-много плюшевых щенков — белых, чёрных, рыжих, пятнистых и трёхцветных. Оказалось, не белые и не чёрные щенки составляют 55 % от общего количества. Не чёрных и не рыжих всего 53 %. Не рыжих и не пятнистых всего 63 %. Не пятнистых и не трёхцветных всего 64 %. А сколько процентов щенков не трёхцветные и не белые?
Ответ: 65
Задание 6 (6 класс) — Точки на прямой
Вариант 1 — №6
Лиза отметила на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между точками принимают чётные значения. Кроме того, не менее пяти расстояний между отмеченными точками делится на 7 без остатка.
Какое наименьшее количество точек могла отметить Лиза?
Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (точек не обязательно наименьшее количество)?
Вариант 2 — №6.2
Ира отметила на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между точками принимают чётные значения. Кроме того, не менее пяти расстояний между отмеченными точками делится на 9 без остатка.
Какое наименьшее количество точек могла отметить Ира?
Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (точек не обязательно наименьшее количество)?
Вариант 3 — №6.3
Тимур отметил на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между точками принимают значения, кратные 3. Кроме того, не менее пяти расстояний между отмеченными точками делится на 8 без остатка.
Какое наименьшее количество точек мог отметить Тимур?
Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (точек не обязательно наименьшее количество)?
Вариант 4 — №6.4
Антон отметил на прямой несколько точек. Оказалось, что все расстояния между точками принимают значения, кратные 3. Кроме того, не менее пяти расстояний между отмеченными точками делится на 7 без остатка.
Какое наименьшее количество точек мог отметить Антон?
Какое наименьшее расстояние могло быть между самыми далёкими точками (точек не обязательно наименьшее количество)?
Задание 7 (6 класс)
Вариант 1 — №7
Игорь задумал натуральное число. Оказалось, что если прибавить к нему 14, то получится квадрат какого-то натурального числа. А если отнять от него 13, то получится квадрат какого-то другого натурального числа. Какое число мог задумать Игорь? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2 — №7.2
Артур задумал натуральное число. Оказалось, что если прибавить к нему 6, то получится квадрат какого-то натурального числа. А если отнять от него 21, то получится квадрат какого-то другого натурального числа. Какое число мог задумать Артур? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3 — №7.3
Коля задумал натуральное число. Оказалось, что если прибавить к нему 13, то получится квадрат какого-то натурального числа. А если отнять от него 14, то получится квадрат какого-то другого натурального числа. Какое число мог задумать Коля? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4 — №7.4
Саша задумал натуральное число. Оказалось, что если прибавить к нему 10, то получится квадрат какого-то натурального числа. А если отнять от него 17, то получится квадрат какого-то другого натурального числа. Какое число мог задумать Саша? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 8 (6 класс)
Вариант 1 — №8
На турнир по волейболу приехало 70 команд. Каждые две команды должны сыграть между собой ровно один раз. Ничьих в волейболе нет. Команда, выигравшая в этом турнире хотя бы 60 матчей, награждается кубком. Найдите наибольшее количество команд, награждённых такими кубками.
Вариант 2 — №8.2
На турнир по волейболу приехало 100 команд. Каждые две команды должны сыграть между собой ровно один раз. Ничьих в волейболе нет. Команда, выигравшая в этом турнире хотя бы 70 матчей, награждается кубком. Найдите наибольшее количество команд, награждённых такими кубками.
Вариант 3 — №8.3
На турнир по волейболу приехало 50 команд. Каждые две команды должны сыграть между собой ровно один раз. Ничьих в волейболе нет. Команда, выигравшая в этом турнире хотя бы 30 матчей, награждается кубком. Найдите наибольшее количество команд, награждённых такими кубками.
Вариант 4 — №8.4
На турнир по волейболу приехало 90 команд. Каждые две команды должны сыграть между собой ровно один раз. Ничьих в волейболе нет. Команда, выигравшая в этом турнире хотя бы 50 матчей, награждается кубком. Найдите наибольшее количество команд, награждённых такими кубками.
7 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (7 класс)
Вариант 1 — №1
У Максима десять контрольных работ за учебный год. Он может получить максимум 100 баллов за каждую контрольную. Средний балл за первые восемь контрольных работ Максима равен 80, а средний балл за все контрольные работы Максима равен N. Чему равно максимально возможное значение N?
Ответ: 84
Вариант 2 — №1.2
У Максима десять контрольных работ за учебный год. Он может получить максимум 100 баллов за каждую контрольную. Средний балл за первые восемь контрольных работ Максима равен 90, а средний балл за все контрольные работы Максима равен N. Чему равно максимально возможное значение N?
Ответ: 92
Вариант 3 — №1.3
У Максима десять контрольных работ за учебный год. Он может получить максимум 100 баллов за каждую контрольную. Средний балл за первые восемь контрольных работ Максима равен 70, а средний балл за все контрольные работы Максима равен N. Чему равно максимально возможное значение N?
Ответ: 76
Вариант 4 — №1.4
У Максима десять контрольных работ за учебный год. Он может получить максимум 100 баллов за каждую контрольную. Средний балл за первые восемь контрольных работ Максима равен 60, а средний балл за все контрольные работы Максима равен N. Чему равно максимально возможное значение N?
Ответ: 68
Задание 2 (7 класс)
Вариант 1 — №2
В кондитерской несколько витрин, на каждой витрине одинаковое число подносов, а на каждом подносе одинаковое число пирожных. Пирожных на подносе больше, чем подносов на витрине, подносов на витрине больше, чем число витрин, а витрин больше одной. Известно, что общее число пирожных — 138.
Найдите число витрин.
Ответ: 2
Найдите общее число подносов.
Ответ: 6
Вариант 2 — №2.2
В кондитерской несколько витрин, на каждой витрине одинаковое число подносов, а на каждом подносе одинаковое число пирожных. Пирожных на подносе больше, чем подносов на витрине, подносов на витрине больше, чем число витрин, а витрин больше одной. Известно, что общее число пирожных — 195.
Найдите число витрин.
Ответ: 3
Найдите общее число подносов.
Ответ: 15
Вариант 3 — №2.3
В кондитерской несколько витрин, на каждой витрине одинаковое число подносов, а на каждом подносе одинаковое число пирожных. Пирожных на подносе больше, чем подносов на витрине, подносов на витрине больше, чем число витрин, а витрин больше одной. Известно, что общее число пирожных — 231.
Найдите число витрин.
Ответ: 3
Найдите общее число подносов.
Ответ: 21
Вариант 4 — №2.4
В кондитерской несколько витрин, на каждой витрине одинаковое число подносов, а на каждом подносе одинаковое число пирожных. Пирожных на подносе больше, чем подносов на витрине, подносов на витрине больше, чем число витрин, а витрин больше одной. Известно, что общее число пирожных — 385.
Найдите число витрин.
Ответ: 5
Найдите общее число подносов.
Ответ: 35
Задание 3 (7 класс)
Вариант 1 — №3
Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский языки, причём каждый из 100 учеников в параллели изучает как минимум два иностранных языка. Известно, что английский изучает 79 учеников, немецкий — 69, а французский — 71. Сколько учеников изучают все три иностранных языка?
Ответ: 19
Вариант 2 — №3.2
Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский языки, причём каждый из 130 учеников в параллели изучает как минимум два иностранных языка. Известно, что английский изучает 106 учеников, немецкий — 89, а французский — 81. Сколько учеников изучают все три иностранных языка?
Ответ: 16
Вариант 3 — №3.3
Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский языки, причём каждый из 125 учеников в параллели изучает как минимум два иностранных языка. Известно, что английский изучают 103 ученика, немецкий — 86, а французский — 79. Сколько учеников изучают все три иностранных языка?
Ответ: 18
Вариант 4 — №3.4
Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский языки, причём каждый из 110 учеников в параллели изучает как минимум два иностранных языка. Известно, что английский изучают 92 ученика, немецкий — 78, а французский — 72. Сколько учеников изучают все три иностранных языка?
Ответ: 22
Задание 4 (7 класс) — Разрезание фигуры на домино
Вариант 1 — №4
Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2 или 2 × 1?
Вариант 2 — №4.2
Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2 или 2 × 1?
Рисунок для этой версии задания в исходной публикации не приведён.
Вариант 3 — №4.3
Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2 или 2 × 1?
Рисунок для этой версии задания в исходной публикации не приведён.
Вариант 4 — №4.4
Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2 или 2 × 1?
Рисунок для этой версии задания в исходной публикации не приведён.
Задание 5 (7 класс)
Вариант 1 — №5
Маша и Даша бегут по круговой дорожке по часовой стрелке, каждая девочка с постоянной скоростью. Маша может пробежать круг за t секунд, а Даша — за 70 секунд. Они стартуют из диаметрально противоположных точек. К моменту их первой встречи Маша пробежала ровно 35 кругов. Чему могло быть равно t? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 69, 71
Вариант 2 — №5.2
Маша и Даша бегут по круговой дорожке по часовой стрелке, каждая девочка с постоянной скоростью. Маша может пробежать круг за t секунд, а Даша — за 100 секунд. Они стартуют из диаметрально противоположных точек. К моменту их первой встречи Маша пробежала ровно 25 кругов. Чему могло быть равно t? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 98, 102
Вариант 3 — №5.3
Маша и Даша бегут по круговой дорожке по часовой стрелке, каждая девочка с постоянной скоростью. Маша может пробежать круг за t секунд, а Даша — за 80 секунд. Они стартуют из диаметрально противоположных точек. К моменту их первой встречи Маша пробежала ровно 20 кругов. Чему могло быть равно t? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 78, 82
Вариант 4 — №5.4
Маша и Даша бегут по круговой дорожке по часовой стрелке, каждая девочка с постоянной скоростью. Маша может пробежать круг за t секунд, а Даша — за 60 секунд. Они стартуют из диаметрально противоположных точек. К моменту их первой встречи Маша пробежала ровно 30 кругов. Чему могло быть равно t? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 59, 61
Задание 6 (7 класс)
Вариант 1 — №6
Прямоугольник разбили на три одинаковых прямоугольника, проведя два параллельных отрезка. Периметр каждого из этих трёх прямоугольников равен 130 см. Потом исходный прямоугольник разбили на два одинаковых прямоугольника с периметром, равным 150 см. Чему может быть равен периметр исходного прямоугольника? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 198 ; 210
Вариант 2 — №6.2
Прямоугольник разбили на три одинаковых прямоугольника, проведя два параллельных отрезка. Периметр каждого из этих трёх прямоугольников равен 140 см. Потом исходный прямоугольник разбили на два одинаковых прямоугольника с периметром, равным 160 см. Чему может быть равен периметр исходного прямоугольника? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 212 ; 220
Вариант 3 — №6.3
Прямоугольник разбили на три одинаковых прямоугольника, проведя два параллельных отрезка. Периметр каждого из этих трёх прямоугольников равен 140 см. Потом исходный прямоугольник разбили на два одинаковых прямоугольника с периметром, равным 170 см. Чему может быть равен периметр исходного прямоугольника? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 220 ; 260
Вариант 4 — №6.4
Прямоугольник разбили на три одинаковых прямоугольника, проведя два параллельных отрезка. Периметр каждого из этих трёх прямоугольников равен 150 см. Потом исходный прямоугольник разбили на два одинаковых прямоугольника с периметром, равным 180 см. Чему может быть равен периметр исходного прямоугольника? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 234 ; 270
Задание 7 (7 класс)
Вариант 1 — №7
В комнате находятся двадцать человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки, но между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Общее количество рукопожатий равно 106. Найдите произведение a · b.
Вариант 2 — №7.2
В комнате находятся двадцать восемь человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки, но между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Общее количество рукопожатий равно 263. Найдите произведение a · b.
Вариант 3 — №7.3
В комнате находятся двадцать пять человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки, но между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Общее количество рукопожатий равно 186. Найдите произведение a · b.
Вариант 4 — №7.4
В комнате находятся тридцать человек: a мужчин и b женщин. Каждая пара мужчин пожимает друг другу руки, и каждая пара женщин пожимает друг другу руки, но между мужчинами и женщинами рукопожатий нет. Общее количество рукопожатий равно 259. Найдите произведение a · b.
Задание 8 (7 класс)
Вариант 1 — №8
Назовём суммой подмножеств числа сумму всех чисел, получаемых из исходного числа вычёркиванием некоторых цифр, а также изначального числа. Например, для числа 123 сумма подмножеств равна 123 + 12 + 23 + 13 + 1 + 2 + 3 = 177, а для числа 122 — 122 + 12 + 22 + 12 + 1 + 2 + 2 = 173. Сколько разных значений принимает сумма подмножеств для чисел из промежутка от 632 до 683 включительно?
Вариант 2 — №8.2
Назовём суммой подмножеств числа сумму всех чисел, получаемых из исходного числа вычёркиванием некоторых цифр, а также изначального числа. Например, для числа 123 сумма подмножеств равна 123 + 12 + 23 + 13 + 1 + 2 + 3 = 177, а для числа 122 — 122 + 12 + 22 + 12 + 1 + 2 + 2 = 173. Сколько разных значений принимает сумма подмножеств для чисел из промежутка от 423 до 485 включительно?
Вариант 3 — №8.3
Назовём суммой подмножеств числа сумму всех чисел, получаемых из исходного числа вычёркиванием некоторых цифр, а также изначального числа. Например, для числа 123 сумма подмножеств равна 123 + 12 + 23 + 13 + 1 + 2 + 3 = 177, а для числа 122 — 122 + 12 + 22 + 12 + 1 + 2 + 2 = 173. Сколько разных значений принимает сумма подмножеств для чисел из промежутка от 704 до 778 включительно?
Вариант 4 — №8.4
Назовём суммой подмножеств числа сумму всех чисел, получаемых из исходного числа вычёркиванием некоторых цифр, а также изначального числа. Например, для числа 123 сумма подмножеств равна 123 + 12 + 23 + 13 + 1 + 2 + 3 = 177, а для числа 122 — 122 + 12 + 22 + 12 + 1 + 2 + 2 = 173. Сколько разных значений принимает сумма подмножеств для чисел из промежутка от 511 до 597 включительно?
8 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (8 класс)
Вариант 1 — №1
В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5 бросков и в зачёт идут 4 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. За 5 бросков Петя набрал 64 балла. Какой наименьший балл у него может оказаться в зачёте?
Ответ: 52
Вариант 2 — №1.2
В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5 бросков и в зачёт идут 4 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. За 5 бросков Ваня набрал 71 балл. Какой наименьший балл у него может оказаться в зачёте?
Ответ: 57
Вариант 3 — №1.3
В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 6 бросков и в зачёт идут 5 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. Мила за 5 бросков суммарно набрала 81 балл. Какой наименьший балл у неё может оказаться в зачёте?
Ответ: 81
Вариант 4 — №1.4
В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 6 бросков и в зачёт идут 5 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. Маша за 6 бросков суммарно набрала 75 баллов. Какой наименьший балл у неё может оказаться в зачёте?
Ответ: 63
Задание 2 (8 класс)
Вариант 1 — №2
На день рождения к Васе пришло 37 девушек и 36 юношей. Среди собравшихся 74 человек 37 любят чай, остальные — кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 46. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе?
Ответ: 23
Вариант 2 — №2.2
На день рождения к Васе пришло 29 девушек и 28 юношей. Среди собравшихся 58 человек 29 любят чай, остальные — кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 40. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе?
Ответ: 20
Вариант 3 — №2.3
На день рождения к Васе пришло 36 девушек и 35 юношей. Среди собравшихся 72 человек 36 любят чай, остальные — кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 42. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе?
Ответ: 21
Вариант 4 — №2.4
На день рождения к Васе пришло 28 девушек и 27 юношей. Среди собравшихся 56 человек 28 любят чай, остальные — кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 30. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе?
Ответ: 15
Задание 3 (8 класс)
Вариант 1 — №3
Найдите количество троек (a, b, c) целых чисел, где 1 ≤ a, b, c ≤ 5 и оба числа ab и bc чётны.
Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть (1; 2; 3) и (1; 3; 2) считаются различными.
Ответ: 62
Вариант 2 — №3.2
Найдите количество троек (a, b, c) целых чисел, где 0 ≤ a, b, c ≤ 4 и оба числа ab и bc чётны.
Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть (1; 2; 3) и (1; 3; 2) считаются различными.
Ответ: 93
Вариант 3 — №3.3
Найдите количество троек (a, b, c) целых чисел, где 1 ≤ a, b, c ≤ 5 и оба числа ab и b + c чётны.
Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть (1; 2; 3) и (1; 3; 2) считаются различными.
Ответ: 38
Вариант 4 — №3.4
Найдите количество троек (a, b, c) целых чисел, где 0 ≤ a, b, c ≤ 4 и оба числа ab и b − c чётны.
Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть (1; 2; 3) и (1; 3; 2) считаются различными.
Ответ: 57
Задание 4 (8 класс)
Вариант 1 — №4
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 112°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
∠BAC = ___°
Ответ: 51
∠ABC = ___°
Ответ: 17
Вариант 2 — №4.2
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 128°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
∠BAC = ___°
Ответ: 39
∠ABC = ___°
Ответ: 13
Вариант 3 — №4.3
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 136°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
∠BAC = ___°
Ответ: 33
∠ABC = ___°
Ответ: 11
Вариант 4 — №4.4
На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 104°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
∠BAC = ___°
Ответ: 57
∠ABC = ___°
Ответ: 19
Задание 5 (8 класс)
Вариант 1 — №5
В оркестре 3 скрипача и 4 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/35
Вариант 2 — №5.2
В оркестре 6 скрипачей и 3 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/84
Вариант 3 — №5.3
В оркестре 5 скрипачей и 3 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/56
Вариант 4 — №5.4
В оркестре 4 скрипача и 4 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/70
Задание 6 (8 класс) — Тройки действительных чисел
Вариант 1 — №6
Найдите все тройки действительных чисел a ≥ b ≥ c — такие, что a + b + c = 372 и a² + b² + c = b² + c² + a = c² + a² + b.
Вариант 2 — №6.2
Найдите все тройки действительных чисел a ≥ b ≥ c — такие, что a + b + c = 339 и a² + b² + c = b² + c² + a = c² + a² + b.
Вариант 3 — №6.3
Найдите все тройки действительных чисел a ≥ b ≥ c — такие, что a + b + c = 381 и a² + b² + c = b² + c² + a = c² + a² + b.
Вариант 4 — №6.4
Найдите все тройки действительных чисел a ≥ b ≥ c — такие, что a + b + c = 306 и a² + b² + c = b² + c² + a = c² + a² + b.
Задание 7 (8 класс)
Вариант 1 — №7
Лёня выкладывает спички в виде клетчатого прямоугольника, сторона клетки — одна спичка. Например, для прямоугольника 2 × 3 потребуется 17 спичек.
Прямоугольник какого размера он может выложить, используя ровно 137 спичек?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Прямоугольники a × b и b × a считайте одинаковыми, в ответ запишите тот, в котором a ≤ b.
Формат ответа: «число + русская буква х + число без пробелов». Например, 2х3.
Вариант 2 — №7.2
Лёня выкладывает спички в виде клетчатого прямоугольника, сторона клетки — одна спичка. Например, для прямоугольника 2 × 3 потребуется 17 спичек.
Прямоугольник какого размера он может выложить, используя ровно 122 спички?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Прямоугольники a × b и b × a считайте одинаковыми, в ответ запишите тот, в котором a ≤ b.
Формат ответа: «число + русская буква х + число без пробелов». Например, 2х3.
Вариант 3 — №7.3
Лёня выкладывает спички в виде клетчатого прямоугольника, сторона клетки — одна спичка. Например, для прямоугольника 2 × 3 потребуется 17 спичек.
Прямоугольник какого размера он может выложить, используя ровно 87 спичек?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Прямоугольники a × b и b × a считайте одинаковыми, в ответ запишите тот, в котором a ≤ b.
Формат ответа: «число + русская буква х + число без пробелов». Например, 2х3.
Вариант 4 — №7.4
Лёня выкладывает спички в виде клетчатого прямоугольника, сторона клетки — одна спичка. Например, для прямоугольника 2 × 3 потребуется 17 спичек.
Прямоугольник какого размера он может выложить, используя ровно 121 спичку?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Прямоугольники a × b и b × a считайте одинаковыми, в ответ запишите тот, в котором a ≤ b.
Формат ответа: «число + русская буква х + число без пробелов». Например, 2х3.
Задание 8 (8 класс)
Вариант 1 — №8
Дан квадрат ABCD со стороной 44. P — середина AB, Q — середина BC, R — середина PC, S — середина QD. Найдите площадь треугольника ARS.
Вариант 2 — №8.2
Дан квадрат ABCD со стороной 20. P — середина AB, Q — середина BC, R — середина PQ, S — середина QD. Найдите площадь треугольника ARS.
Вариант 3 — №8.3
Дан квадрат ABCD со стороной 28. P — середина AB, Q — середина BC, R — середина PQ, S — середина CD. Найдите площадь треугольника ARS.
Вариант 4 — №8.4
Дан квадрат ABCD со стороной 36. P — середина AB, Q — середина BC, R — середина PQ, S — середина PD. Найдите площадь треугольника ARS.
9 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (9 класс)
Вариант 1 — №1
Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 25 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?
Ответ: 5
Вариант 2 — №1.2
Дана доска 4 × 5, в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 18 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?
Ответ: 3
Вариант 3 — №1.3
Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 30 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?
Ответ: 6
Вариант 4 — №1.4
Дана доска 4 × 5, в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 24 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?
Ответ: 4
Задание 2 (9 класс)
Вариант 1 — №2
На складе находится несколько одинаковых коробок с карандашами (более одной). Во всех коробках одинаковое количество карандашей (более одного). Известно, что всего карандашей больше 1300, но меньше 1400. Если бы кладовщик знал их точное общее количество, то смог бы определить точное число коробок, не заходя на склад. Сколько коробок на складе?
Ответ: 37
Вариант 2 — №2.2
На складе находится несколько одинаковых коробок с карандашами (более одной). Во всех коробках одинаковое количество карандашей (более одного). Известно, что всего карандашей больше 800, но меньше 900. Если бы кладовщик знал их точное общее количество, то смог бы определить точное число коробок, не заходя на склад. Сколько коробок на складе?
Ответ: 29
Вариант 3 — №2.3
На складе находится несколько одинаковых коробок с карандашами (более одной). Во всех коробках одинаковое количество карандашей (более одного). Известно, что всего карандашей больше 900, но меньше 1000. Если бы кладовщик знал их точное общее количество, то смог бы определить точное число коробок, не заходя на склад. Сколько коробок на складе?
Ответ: 31
Вариант 4 — №2.4
На складе находится несколько одинаковых коробок с карандашами (более одной). Во всех коробках одинаковое количество карандашей (более одного). Известно, что всего карандашей больше 500, но меньше 600. Если бы кладовщик знал их точное общее количество, то смог бы определить точное число коробок, не заходя на склад. Сколько коробок на складе?
Ответ: 23
Задание 3 (9 класс)
Вариант 1 — №3
Тяжёлый прямоугольный брусок имеет высоту 1 м, а его основание — квадрат со стороной длины x м. Брусок поместили в бак с водой в форме параллелепипеда, площадь основания которого равна 4 м². Сначала брусок положили квадратным основанием на пол бака и уровень воды достиг верхней грани бруска. Потом брусок достали и положили другой гранью вниз, при этом уровень воды стал ниже на 40 см. На сколько сантиметров ещё понизится уровень воды, если снова достать брусок?
Ответ: 24
Вариант 2 — №3.2
Тяжёлый прямоугольный брусок имеет высоту 1 м, а его основание — квадрат со стороной длины x м. Брусок поместили в бак с водой в форме параллелепипеда, площадь основания которого равна 3.6 м². Сначала брусок положили квадратным основанием на пол бака и уровень воды достиг верхней грани бруска. Потом брусок достали и положили другой гранью вниз, при этом уровень воды стал ниже на 10 см. На сколько сантиметров ещё понизится уровень воды, если снова достать брусок?
Ответ: 30
Вариант 3 — №3.3
Тяжёлый прямоугольный брусок имеет высоту 1 м, а его основание — квадрат со стороной длины x м. Брусок поместили в бак с водой в форме параллелепипеда, площадь основания которого равна 2.6 м². Сначала брусок положили квадратным основанием на пол бака и уровень воды достиг верхней грани бруска. Потом брусок достали и положили другой гранью вниз, при этом уровень воды стал ниже на 30 см. На сколько сантиметров ещё понизится уровень воды, если снова достать брусок?
Ответ: 35
Вариант 4 — №3.4
Тяжёлый прямоугольный брусок имеет высоту 1 м, а его основание — квадрат со стороной длины x м. Брусок поместили в бак с водой в форме параллелепипеда, площадь основания которого равна 2.4 м². Сначала брусок положили квадратным основанием на пол бака и уровень воды достиг верхней грани бруска. Потом брусок достали и положили другой гранью вниз, при этом уровень воды стал ниже на 20 см. На сколько сантиметров ещё понизится уровень воды, если снова достать брусок?
Ответ: 40
Задание 4 (9 класс)
Вариант 1 — №4
Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 38. Для каждой пары решений (x; y) в ответ запишите модуль |x + y|. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 17; 21; 38
Вариант 2 — №4.2
Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 35. Для каждой пары решений (x; y) в ответ запишите модуль |x + y|. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3; 11; 35
Вариант 3 — №4.3
Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 25. Для каждой пары решений (x; y) в ответ запишите модуль |x + y|. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 1; 9; 25
Вариант 4 — №4.4
Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 51. Для каждой пары решений (x; y) в ответ запишите модуль |x + y|. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5; 11; 51
Задание 5 (9 класс)
Вариант 1 — №5
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
70
-
71
-
72
-
73
-
74
-
75
Ответ: 71; 72; 73; 74
Вариант 2 — №5.2
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
60
-
61
-
62
-
63
-
64
-
65
Ответ: 61; 62; 63; 64;
Вариант 3 — №5.3
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
50
-
51
-
52
-
53
-
54
-
55
Ответ: 51; 52; 53; 54;
Вариант 4 — №5.4
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
40
-
41
-
42
-
43
-
44
-
45
Ответ: 41; 42; 43; 44;
Задание 6 (9 класс) — Треугольники из палочек
Вариант 1 — №6
У ослика Иа-Иа есть 4 палочки длиной 4 см, 6 палочек длиной 6 см и 10 палочек длиной 10 см. Сколькими способами у ослика получится выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем разными.
Вариант 2 — №6.2
У ослика Иа-Иа есть 4 палочки длиной 4 см, 5 палочек длиной 5 см и 9 палочек длиной 9 см. Сколькими способами у ослика получится выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем разными.
Вариант 3 — №6.3
У ослика Иа-Иа есть 5 палочек длиной 5 см, 6 палочек длиной 6 см и 11 палочек длиной 11 см. Сколькими способами у ослика получится выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем разными.
Вариант 4 — №6.4
У ослика Иа-Иа есть 5 палочек длиной 5 см, 7 палочек длиной 7 см и 12 палочек длиной 12 см. Сколькими способами у ослика получится выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем разными.
Задание 7 (9 класс)
Вариант 1 — №7
Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB, BC, CD, DA соответственно взяты точки K, L, M, N так, что KL ∥ AC ∥ MN. Известно, что сумма площадей треугольников BKL и MDN равна половине площади параллелограмма ABCD, BL = 24, DN = 7. Пусть отрезки NL и AC пересекаются в точке O.
Найдите длину отрезка AN.
Найдите отношение LO : NO.
Вариант 2 — №7.2
Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB, BC, CD, DA соответственно взяты точки K, L, M, N так, что KL ∥ AC ∥ MN. Известно, что сумма площадей треугольников BKL и MDN равна половине площади параллелограмма ABCD, BL = 12, DN = 9. Пусть отрезки NL и AC пересекаются в точке O.
Найдите длину отрезка AN.
Найдите отношение LO : NO.
Вариант 3 — №7.3
Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB, BC, CD, DA соответственно взяты точки K, L, M, N так, что KL ∥ AC ∥ MN. Известно, что сумма площадей треугольников BKL и MDN равна половине площади параллелограмма ABCD, BL = 12, DN = 5. Пусть отрезки NL и AC пересекаются в точке O.
Найдите длину отрезка AN.
Найдите отношение LO : NO.
Вариант 4 — №7.4
Дан параллелограмм ABCD. На сторонах AB, BC, CD, DA соответственно взяты точки K, L, M, N так, что KL ∥ AC ∥ MN. Известно, что сумма площадей треугольников BKL и MDN равна половине площади параллелограмма ABCD, BL = 40, DN = 9. Пусть отрезки NL и AC пересекаются в точке O.
Найдите длину отрезка AN.
Найдите отношение LO : NO.
Задание 8 (9 класс)
Вариант 1 — №8
Решите уравнение:
[x] · {x} = 17x,
где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x} = x − [x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2 — №8.2
Решите уравнение:
[x] · {x} = 14x,
где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x} = x − [x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3 — №8.3
Решите уравнение:
[x] · {x} = 20x,
где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x} = x − [x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4 — №8.4
Решите уравнение:
[x] · {x} = 11x,
где [x] — целая часть числа x (то есть наибольшее целое число, не превосходящее x), а {x} = x − [x] — дробная часть числа x. Укажите все подходящие корни. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
10 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (10 класс)
Вариант 1 — №1
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно пятая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 5
Вариант 2 — №1.2
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно седьмая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 7
Вариант 3 — №1.3
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно шестая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 6
Вариант 4 — №1.4
Поверхность куба со стороной n покрасили белой краской, а после разрезали на n³ маленьких кубиков. Чему равно n, если суммарно белым покрашена ровно восьмая часть всех граней маленьких кубиков?
Ответ: 8
Задание 2 (10 класс)
Вариант 1 — №2
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1414?
Ответ: 3600
Вариант 2 — №2.2
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 1010?
Ответ: 2400
Вариант 3 — №2.3
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 2222?
Ответ: 6000
Вариант 4 — №2.4
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение: (m + n)(k + l)(p + q) = 606?
Ответ: 1200
Задание 3 (10 класс)
Вариант 1 — №3
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
-
66
-
123
-
445
-
570
-
636
-
924
Ответ: 123; 570
Вариант 2 — №3.2
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
-
66
-
159
-
243
-
524
-
663
-
927
Ответ: 243; 663
Вариант 3 — №3.3
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
-
63
-
145
-
291
-
369
-
546
-
927
Ответ: 291; 369
Вариант 4 — №3.4
Из трёхзначного числа вычли учетверённую сумму цифр. Чему может быть равна полученная разность? Выберите все подходящие варианты:
-
60
-
309
-
450
-
476
-
564
-
921
Ответ: 309; 564
Задание 4 (10 класс)
Вариант 1 — №4
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 4AE = 3EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 133.
Ответ: 19
Вариант 2 — №4.2
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 2AE = EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 138.
Ответ: 46
Вариант 3 — №4.3
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 3AE = 2EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 135.
Ответ: 27
Вариант 4 — №4.4
AB и CD — диаметры окружности ω, CE — высота треугольника ABC. Оказалось, что 5AE = 3EB. Найдите площадь треугольника CDE, если площадь треугольника ABC равна 132.
Ответ: 33
Задание 5 (10 класс)
Вариант 1 — №5
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 3 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
53
-
54
-
55
-
56
-
57
-
58
Ответ: 53; 55; 56; 57
Вариант 2 — №5.2
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 2, 5 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
62
-
63
-
64
-
65
-
66
-
67
Ответ: 62; 64; 65; 67
Вариант 3 — №5.3
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 3, 6 или 8 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
83
-
84
-
85
-
86
-
87
-
88
Ответ: 84; 86; 87; 88
Вариант 4 — №5.4
Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход разрешается снять со стола 1, 4, 6 или 9 монет. Выигрывает тот, кто снимет последнюю монету. При каких n первый игрок может выиграть независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
-
74
-
75
-
76
-
77
-
78
-
79
Ответ: 74; 76; 78; 79
Задание 6 (10 класс) — Вычёркивание чисел
Вариант 1 — №6
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 61, 62. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
Вариант 2 — №6.2
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 35, 36. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 5, 9, … (шаг равен 4). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, 5, то после первого шага останутся 2, 3, 4; после второго — 3, 4; после третьего — 4.
Вариант 3 — №6.3
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 47, 48. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 5, 9, … (шаг равен 4). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, 5, то после первого шага останутся 2, 3, 4; после второго — 3, 4; после третьего — 4.
Вариант 4 — №6.4
Рассмотрим последовательность натуральных чисел 1, 2, …, 92, 93. На каждом шаге будем вычёркивать числа, находящиеся на местах с номерами 1, 4, 7, … (шаг равен 3). Какое число останется в самом конце? Например, если изначально были числа 1, 2, 3, 4, то после первого шага останутся 2, 3; после второго — 3.
Задание 7 (10 класс)
Вариант 1 — №7
Пусть точка K — середина стороны AD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AB, причём AL : LB = 1 : 3. Отрезки CL и BK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MC, если сторона квадрата равна 4.
Вариант 2 — №7.2
Пусть точка K — середина стороны CD квадрата ABCD, точка L лежит на стороне AD, причём DL : LA = 1 : 3. Отрезки BL и AK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MB, если сторона квадрата равна 12.
Вариант 3 — №7.3
Пусть точка K — середина стороны BC квадрата ABCD, точка L лежит на стороне CD, причём CL : LD = 1 : 3. Отрезки AL и DK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MA, если сторона квадрата равна 8.
Вариант 4 — №7.4
Пусть точка K — середина стороны AB квадрата ABCD, точка L лежит на стороне BC, причём BL : LC = 1 : 3. Отрезки DL и CK пересекаются в точке M. Найдите произведение LM · MD, если сторона квадрата равна 6.
Задание 8 (10 класс)
Вариант 1 — №8
Пусть Aₙ = aa…a (n цифр), то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − Bₙ = 9Aₙ²?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 2 — №8.2
Пусть Aₙ = aa…a (n цифр), то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − 2Bₙ = 2Aₙ²?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 3 — №8.3
Пусть Aₙ = aa…a (n цифр), то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что 8C₂ₙ − 16Bₙ = 9Aₙ²?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Вариант 4 — №8.4
Пусть Aₙ = aa…a (n цифр), то есть число, состоящее из n цифр a, где a ≠ 0. Аналогично Bₙ = bb…b (n цифр) и C₂ₙ = cc…c (2n цифр), где b ≠ 0 и c ≠ 0. Какие значения может принимать a + b + c, для которых существует хотя бы два таких значения n, что C₂ₙ − 2Bₙ = 18Aₙ²?
Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
11 класс: задания и ответы олимпиады «Сириус» по математике
Задание 1 (11 класс) — Баскетбольные броски
Вариант 1 — №1
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 154 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/4 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/7 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 43
Вариант 2 — №1.2
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 132 штрафных броска на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/4 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 92
Вариант 3 — №1.3
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 105 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 1/3 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 3/5 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 59
Вариант 4 — №1.4
Андрей и Борис тренируют броски в баскетболе. Однажды они выполнили в общей сложности 135 штрафных бросков на двоих, при этом каждый выполнил хотя бы один бросок. Андрей реализовал ровно 2/5 своих штрафных бросков, а Борис — ровно 2/3 своих. Какое максимальное количество успешных штрафных бросков они могли бы выполнить на двоих?
Ответ: 86
Задание 2 (11 класс) — Сумма цифр числа
Вариант 1 — №2
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
-
1
-
2
-
5
-
7
-
12
-
14
Ответ: 2; 5; 7; 12; 14
Вариант 2 — №2.2
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
-
1
-
2
-
5
-
10
-
11
-
16
Ответ: 2; 5; 10; 11; 16
Вариант 3 — №2.3
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
-
1
-
2
-
7
-
10
-
14
-
17
Ответ: 2; 7; 10; 14; 17
Вариант 4 — №2.4
Какую сумму цифр может иметь число, делящееся на 13? Выберите все подходящие варианты:
-
1
-
2
-
8
-
9
-
16
-
17
Ответ: 2; 8; 9; 16; 17
Задание 3 (11 класс) — Разноцветные точки
Вариант 1 — №3
На плоскости расположены 18 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 9
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -119
Вариант 2 — №3.2
На плоскости расположены 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 10
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -152
Вариант 3 — №3.3
На плоскости расположены 22 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 11
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -189
Вариант 4 — №3.4
На плоскости расположены 24 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые (не менее одной) из них покрасили в красный цвет, а остальные (не менее одной) — в синий. Потом провели всевозможные отрезки, соединяющие данные точки. Назовём отрезок одноцветным, если он соединяет точки одного цвета, иначе — разноцветным. Пусть было A разноцветных и B одноцветных отрезков.
Найдите наибольшее возможное значение разности A − B.
Ответ: 12
Найдите наименьшее возможное значение разности A − B.
Ответ: -230
Задание 4 (11 класс) — Окружности в угле
Вариант 1 — №4
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2523 соответственно.
Ответ: 1/29
Вариант 2 — №4.2
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 1922 соответственно.
Ответ: 1/31
Вариант 3 — №4.3
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 3 и 2187 соответственно.
Ответ: 1/27
Вариант 4 — №4.4
В угол AOB вписаны окружности ω₁, ω₂, …, ω₅ так, что окружность ωᵢ₊₁ касается ωᵢ для всех 1 ≤ i ≤ 4. Обозначим за Aᵢ точку касания окружности ωᵢ со стороной OA. Найдите (A₁A₂ · A₃A₄) / (A₂A₃ · A₄A₅), если радиусы окружностей ω₁ и ω₅ равны 2 и 2178 соответственно.
Ответ: 1/33
Задание 5 (11 класс) — Нули в конце произведения
Вариант 1 — №5
Вася случайным образом выбирает число n из множества {241; 242; …; 250} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {323; 324; …; 332} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/5
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 7/25
Вариант 2 — №5.2
Вася случайным образом выбирает число n из множества {120; 121; …; 129} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {221; 222; …; 230} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 3/20
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/4
Вариант 3 — №5.3
Вася случайным образом выбирает число n из множества {123; 124; …; 132} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {622; 623; …; 631} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 3/25
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/4
Вариант 4 — №5.4
Вася случайным образом выбирает число n из множества {250; 251; …; 259} и считает количество нулей, на которое оканчивается произведение n(n + 1)(n + 2). Петя случайным образом выбирает число m из множества {422; 423; …; 431} и также считает количество нулей, на которое оканчивается произведение m(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4).
С какой вероятностью количество нулей у Васи будет больше, чем у Пети? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/10
С какой вероятностью у Васи и у Пети будет поровну нулей? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 3/10
Задание 6 (11 класс) — Разрезание прямоугольника
Вариант 1 — №6
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 13 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
Вариант 2 — №6.2
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 10 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.
Вариант 3 — №6.3
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 3 × 11 на прямоугольники 1 × 3 и квадраты 3 × 3. Фигуры можно поворачивать.
Вариант 4 — №6.4
Найдите количество способов разрезать прямоугольник 4 × 14 на прямоугольники 1 × 4 и квадраты 4 × 4. Фигуры можно поворачивать.
Задание 7 (11 класс) — Наибольшее произведение НОД
Вариант 1 — №7
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 361 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 209. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
Вариант 2 — №7.2
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 253 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 575. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
Вариант 3 — №7.3
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 190 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 323. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
Вариант 4 — №7.4
Обозначим множество A — множество натуральных чисел, не превосходящих 289 и больших 1, B — множество натуральных чисел, не превосходящих 119. Для каждой пары чисел a ∈ A, b ∈ B посчитали число НОД(a − 1, b + 1) · НОД(a, b) и записали на доску. Чему равно наибольшее число, написанное на доске?
Задание 8 (11 класс) — Расстояние между прямыми
Вариант 1 — №8
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 11, AC = 12.
Вариант 2 — №8.2
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 12, AB = 15, AC = 13.
Вариант 3 — №8.3
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = б7, AB = 8, AC = 9.
В исходном условии длина BC напечатана как «б7». Сверьте это значение со своим вариантом.
Вариант 4 — №8.4
В тетраэдре ABCD точки M, N, K, L — середины рёбер AD, BC, AB и CD соответственно. Оказалось, что отрезок MN перпендикулярен BC и AD, а отрезок KL перпендикулярен AB и CD. Найдите расстояние между прямыми AC и BD, если BC = 5, AB = 8, AC = 9.
Вопросы об олимпиаде 14 октября 2026
Какие классы представлены в статье?
Восемь разделов: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класс. В каждом разделе приведены задания №1–8 с четырьмя версиями условий.
Как найти свой вариант задания?
Выберите класс в содержании, затем номер. Сравните все данные условия с вашей работой: одинаковый сюжет может иметь другие числа, рисунки и ответ.
Где посмотреть ответы к заданиям?
Опубликованные ответы находятся под соответствующими условиями. Если ответ в источнике не указан, под заданием сохранена ссылка «Посмотреть ответ». Такие ссылки также оставлены у №7 и №8. Рисунки открываются по нажатию в полном размере на my-exam.ru.
Где найти другие олимпиады по математике?
В разделе олимпиад собраны материалы по разным предметам. Также доступны задания по математике для 4–6 классов в Москве 12–15 октября 2026, задачи на чётность и логические задачи.
Теперь попробуйте объяснить решение
Если можете рассказать ход мысли своими словами — вы уже сделали важный шаг.
