Авторский тренировочный материал. Не является официальным вариантом олимпиады или конкурса.
В занимательных задачах часто не нужны длинные вычисления. Сложность в другом: точно прочитать условие, увидеть ограничения и не подменить доказательство догадкой.
Ниже три тренировочные задачи с подробными разборами. Подборка составлена для самостоятельной подготовки и не относится к официальному варианту конкретного конкурса.
Задача 1. Три коробки
Условие. В одной коробке лежат только красные шарики, в другой — только синие, в третьей — и красные, и синие. На коробках написано «Красные», «Синие», «Смесь». Известно, что все три надписи неверны. Можно вынуть один шарик из одной коробки, не заглядывая внутрь. Как определить содержимое всех коробок?
Подумайте, какая из надписей сообщает больше всего, если мы точно знаем, что она неверна.
Решение
Достанем шарик из коробки с надписью «Смесь». Эта надпись неверна, значит внутри шарики только одного цвета. Цвет вынутого шарика и есть цвет всего содержимого.
Пусть мы достали красный шарик. Тогда:
- В коробке «Смесь» лежат только красные шарики.
- В коробке «Синие» не могут лежать только синие шарики — надпись неверна. Красная коробка уже найдена, поэтому здесь находится смесь.
- В оставшейся коробке «Красные» лежат только синие шарики.
Если первым оказался синий шарик, рассуждение симметрично: «Смесь» содержит синие, «Красные» — смесь, «Синие» — красные.
Ответ: начать с коробки «Смесь». Ключевое условие — неверна каждая надпись, а не только одна из них.
Задача 2. Место в турнире
Условие. Аня, Боря и Вера заняли первое, второе и третье места, без ничьих. Известно, что Аня не первая, Боря не второй, а Вера не первая и не третья. Кто какое место занял?
Решение
Начнём с участника, для которого ограничений больше всего. Вера не первая и не третья, поэтому она заняла второе место.
Теперь остаются первое и третье места. Аня не первая — значит, третья. Боре остаётся первое место.
| Участник | Место | Почему |
|---|---|---|
| Боря | 1 | Единственное оставшееся место |
| Вера | 2 | Исключены первое и третье |
| Аня | 3 | Первое исключено, второе занято |
Проверка: все исходные ограничения соблюдены. Отдельно заметим: условие «Боря не второй» оказалось избыточным — второе место уже занято Верой. В задачах не каждый факт обязательно нужен для нахождения ответа.
Задача 3. Дни рождения
Условие. В кружке занимаются 13 школьников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в одном месяце.
Решение от противного
Предположим, что каждый месяц приходится не более чем на одного школьника. Месяцев в году 12, значит школьников могло бы быть не больше 12. Но по условию их 13. Получили противоречие.
Следовательно, хотя бы в одном месяце родились два или более участника кружка.
Это пример принципа Дирихле: если предметов больше, чем групп, то в какую-то группу попадёт хотя бы два предмета. Здесь предметы — школьники, группы — месяцы рождения.
Мы не определили, какие именно двое родились в одном месяце. Зато доказали, что такая пара обязательно существует. Это разные типы ответа.
Как решать логические задачи
Переводите текст в ограничения. «Не первый» исключает только одно место. «Не первый и не третий» исключает два. Не добавляйте условий, которых нет в тексте.
Начинайте с самого определённого факта. В задаче о турнире сначала можно точно определить место Веры. После этого остальные шаги становятся короче.
Разделяйте гипотезу и вывод. В задаче с коробками цвет первого шарика заранее неизвестен. Нужно рассмотреть оба возможных случая, хотя они и симметричны.
Проверяйте все условия. Когда нашли ответ, вернитесь к началу и проверьте каждое утверждение, а не только то, которым воспользовались первым.
Самостоятельная практика
- В кружке 25 человек. Докажите, что хотя бы трое родились в одном месяце.
- Можно ли утверждать, что среди 12 человек обязательно есть двое, родившиеся в одном месяце?
- Что изменится в задаче о коробках, если неверна только одна надпись, а остальные две верны?
Проверяем рассуждения
1. Если бы в каждом месяце родились не более двух участников, всего их было бы не больше . Участников 25, значит хотя бы в одном месяце их трое или больше.
2. Нет. Возможен случай, когда каждый из 12 человек родился в отдельном месяце. Это контрпример: он опровергает слово «обязательно».
3. Такая ситуация невозможна при исходном условии о трёх разных видах содержимого. Если две надписи верны, двум коробкам уже назначено их содержимое. Оставшаяся коробка неизбежно соответствует третьей надписи, и она тоже верна.
В олимпиадной математике часто полезно не только найти решение, но и заметить невозможное условие. Продолжить тренировку можно на задачах о чётности и раскраске.
Теперь попробуйте объяснить решение
Если можете рассказать ход мысли своими словами — вы уже сделали важный шаг.
