Чётность в олимпиадных задачах: как найти ключ к решению

Иногда олимпиадная задача выглядит как приглашение к большому перебору. Но прежде чем проверять десятки вариантов, полезно задать короткий вопрос: что здесь чётное, а что нечётное? Этот признак может сразу исключить все невозможные случаи.

В разборе — три авторских тренировочных примера. Для них достаточно знать сложение, вычитание и понятие чётного числа.

Главная идея: два вида чисел

Чётное целое число делится на 2 без остатка. Его можно записать как $2n$, где $n$ — целое число. Нечётное имеет вид $2n+1$.

Вместо конкретных значений часто достаточно помнить три правила:

При вычитании действуют такие же правила чётности. Например, 9 − 3 = 6, а 8 − 3 = 5. Изменение числа на 2, 4 или другое чётное число не меняет его чётность.

Задача 1. Расставляем знаки

Условие. Между числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 нужно поставить знаки «плюс» или «минус». Можно ли получить 0? Порядок чисел менять нельзя, первое число остаётся положительным.

Перед разбором попробуйте несколько вариантов. Затем задумайтесь: меняется ли чётность результата, если заменить один плюс на минус?

Решение

Сначала сложим все числа:

$1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.$

Пусть перед числом $k$ плюс заменили на минус. Тогда сумма уменьшилась на $2k$: вместо прибавления $k$ мы его вычли. Это чётное изменение, поэтому сумма остаётся нечётной.

Любое количество таких замен тоже сохраняет нечётность. Ноль — чётное число, значит получить его невозможно.

Ответ: нельзя. Важен не неудачный перебор, а доказательство, которое охватывает все варианты сразу.

Полезный вопрос: какое свойство не меняется при разрешённом действии? Такое свойство называют инвариантом.

Задача 2. Фишка на числовой прямой

Условие. Фишка стоит в точке 0. За один ход её можно передвинуть на 3 единицы вправо или влево. Может ли она оказаться в точке 9 ровно после 10 ходов?

Решение

Число 3 нечётное. Каждый ход меняет чётность координаты: из чётной точки фишка попадает в нечётную и наоборот.

• До начала движения координата чётная: это 0.
• После первого хода она нечётная.
• После второго — снова чётная.
• После любого чётного числа ходов координата чётная.

Десять — чётное число. Значит, после 10 ходов координата обязана быть чётной. Число 9 нечётное, поэтому указанная ситуация невозможна.

Ответ: не может. До точки 9 легко добраться за 3 хода вправо, но условие требует ровно 10 ходов. Не пропускайте это слово.

Задача 3. Шахматная доска

Условие. Из доски 8 × 8 удалили две клетки в противоположных углах. Можно ли покрыть оставшуюся часть костяшками домино 1 × 2 без наложений и пропусков?

Решение

Покрасим доску в шахматном порядке. В исходной доске 32 белые и 32 чёрные клетки. Противоположные угловые клетки имеют одинаковый цвет. После их удаления клеток одного цвета останется 30, а другого — 32.

Любая костяшка, лежащая по клеткам, закрывает две соседние клетки: одну белую и одну чёрную. Следовательно, 31 костяшка могла бы закрыть ровно 31 белую и 31 чёрную клетку. Но такого количества цветов на оставшейся доске нет.

Ответ: нельзя. Здесь помогает не чётность количества всех клеток — их 62, — а баланс двух цветов.

Попробуйте самостоятельно

1. Можно ли поставить плюсы и минусы между числами от 1 до 7 так, чтобы получить 0? Первое число положительное.
2. Фишка начинает в точке 0 и двигается на 3 единицы. Можно ли попасть в точку 9 ровно за 5 ходов?
3. Почему проверка чётности иногда доказывает невозможность, но не доказывает существование решения?

Ответы и проверка

1. Можно: $1+2+3+4-5-6+7=6$ не подходит, но $1+2-3+4-5-6+7=0$ подходит. Сумма всех чисел равна 28, поэтому препятствия по чётности нет. Возможность подтверждает конкретная расстановка.

2. Можно: четыре хода вправо и один влево дают $4\cdot3-3=9$. Всего ровно 5 ходов.

3. Проверка чётности — необходимое условие в этих задачах. Совпадение чётности ещё не означает, что разрешённые действия позволяют получить нужный результат. После такой проверки ищут конструкцию или дополнительные ограничения.

Что стоит запомнить

Если в задаче встречаются целые числа, шаги фиксированной длины, раскраска или расстановка знаков, проверьте чётность. Запишите, как она меняется после одного действия. Затем сравните начальное и требуемое состояния.

Для дальнейшей практики откройте логические задачи с разбором. Там пригодится ещё один олимпиадный навык — последовательная проверка гипотез.