Обыкновенные дроби: тренировочная работа для 6 класса

Умение работать с дробями нужно и в школьных контрольных, и в задачах на движение, доли и проценты. Эта небольшая работа поможет проверить основные действия без калькулятора.

Как заниматься: выделите около 20 минут, запишите решения всех пяти заданий, а затем переходите к разбору. Это авторская учебная подборка, не официальный вариант контрольной или экзамена.

Перед началом: три правила

1. Чтобы сложить или вычесть дроби, приведите их к общему знаменателю.
2. При умножении перемножьте числители и знаменатели. Если возможно, сначала сократите множители.
3. Деление на ненулевую дробь замените умножением на обратную ей дробь.

Обратная дробь для $\frac{3}{4}$ — это $\frac{4}{3}$. Их произведение равно 1.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Вычислите: $\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$.

Задание 2. Вычислите: $2\frac{1}{3}-\frac{5}{6}$.

Задание 3. Найдите $\frac{3}{5}$ от числа 45.

Задание 4. Решите уравнение: $\frac{2}{3}x=14$.

Задание 5. В первый день прочитали $\frac{2}{5}$ книги, во второй — $\frac{1}{3}$ всей книги. После этого осталось 48 страниц. Сколько страниц в книге?

Остановитесь здесь, если ещё не решили задания. Важен не только ответ, но и запись действий: по ней легче заметить ошибку.

Разбор заданий 1 и 2

Задание 1. Складываем дроби

Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 равен 12. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 3, второй — на 2:

$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}=\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{19}{12}=1\frac{7}{12}.$

Проверка здравым смыслом: каждое слагаемое меньше 1, но больше половины. Значит, сумма должна быть больше 1 и меньше 2. Полученный ответ попадает в этот промежуток.

Задание 2. Вычитаем из смешанного числа

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$. Затем приведём дроби к знаменателю 6:

$\frac{7}{3}-\frac{5}{6}=\frac{14}{6}-\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}.$

Проверка обратным действием: $1\frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}+\frac{5}{6}=\frac{14}{6}=2\frac{1}{3}$.

Разбор заданий 3 и 4

Задание 3. Находим часть числа

Пятая часть числа 45 равна $45:5=9$. Нужны три такие части: $9\cdot3=27$.

Короткая запись того же решения:

$45\cdot\frac{3}{5}=27.$

Ответ: 27. Доля $\frac{3}{5}$ меньше единицы, поэтому результат должен быть меньше 45.

Задание 4. Восстанавливаем целое

Чтобы найти неизвестный множитель, разделим произведение на известный множитель:

$x=14:\frac{2}{3}=14\cdot\frac{3}{2}=21.$

Проверим подстановкой: $\frac{2}{3}\cdot21=14$.

Ответ: 21. Обратите внимание: деление на положительную дробь, меньшую 1, увеличивает число. Поэтому утверждение «деление всегда уменьшает» неверно.

Задание 5. Задача про книгу

В условии обе доли относятся ко всей книге. Сложим прочитанные части:

$\frac{2}{5}+\frac{1}{3}=\frac{6}{15}+\frac{5}{15}=\frac{11}{15}.$

На оставшиеся страницы приходится:

$1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15}.$

Если $\frac{4}{15}$ книги — это 48 страниц, то $\frac{1}{15}$ равна $48:4=12$ страницам. Вся книга содержит $12\cdot15=180$ страниц.

Проверка: в первый день прочитали 72 страницы, во второй — 60. Осталось $180-72-60=48$ страниц.

Ответ: 180 страниц. Если бы во второй день прочитали треть остатка, решение было бы другим. Всегда уточняйте, от какого целого взята доля.

Ответы и типичные ошибки

При сложении нельзя складывать знаменатели. При делении переворачивают только дробь-делитель. А сокращение выполняют для множителей, но не для отдельных слагаемых суммы.

Если ошиблись, не переписывайте готовое решение сразу. Найдите первое действие, где ваш ход отличается от разбора, и объясните его заново.

Ещё один шаг

Измените в задании про книгу остаток с 48 до 32 страниц. Доли остаются прежними. Как изменится ответ?

Проверка: $32:\frac{4}{15}=120$ страниц. В первый день прочитали 48 страниц, во второй — 40, осталось 32.

Если хочется переключиться на другой тип рассуждений, попробуйте задачи на чётность.